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An old paper on infinitism and Eduardo Barrio's reply

Some five odd years ago I wrote a bit on infinitism comparing infinite sequences of justifications and truth conditions. The paper never got published but Eduardo Barrio
presented a response to it in Spanish to the Curitiba meeting of the Brazilian group
of Pyrrhonists. I publish both texts below while wondering what to do with all this discussion.

Recursive infinite sequences of justifications

Infinite sequences of justifications have been often dismissed as a somehow inadequate way to justify beliefs. That justification requires infinite sequences can be argued by an argument (A) around the following lines (from 1-3 to 4):
1. A belief is justified only if a justified belief is a reason for it.
2. There are justified beliefs.
3. The proper ancestral of the reason-relation is irreflexive.
4. There is an infinite sequence of justified beliefs each of which is a reason for its predecessor.

Attempts to resist 4 (and A) are motivated by taking 4 to be unacceptable. The argument can then be countered by some variety of foundationalism (rejecting 1), some variety of coherentism (rejecting 3) or some variety of skepticism (rejecting 2).
Recently, infinitism has been regarded with more sympathetic eyes (Black 1996, 2003, Klein 1999). The groudwork done has been to establish that the most frequent criticisms to the idea of a justifying infinite sequence are not compelling. (For example, that we cannot have an infinite number of justified beliefs or that our mind cannot hold infinite sequences.) This shows that the dismissal of infinte sequences of justifications has been too hasty. To complete the job of rendering 4 more plausible, one may think that an example of a reasonable infinite sequence of justification has to be given. Now, here is an example of what I take to be an acceptable (and in fact of the sort that is quite present in everyday life) infinite sequence of justifications:

S justifiedly believes that 'x is red' because
S justifiedly believes she knows what is red because
S justifiedly believes she knows what is a knower of what is red because
S justifiedly believes she knows what is a knower of a knower of what is red because

Or, put in other, perhaps more easily readable way:
S justifiedly believes that ‘x is red’ because
S is a good (or reliable) detector of red because
S is a good (or reliable) detector of good (or reliable) detectors of red because
S is a good (or reliable) detector of good (or reliable) detectors of good (or reliable) detectors of red because

Each belief in the sequence is justified by the next one and yet every belief has to be present if S is to justifiedly belief that 'x is red'. The justiifcation of one belief requires the justification of all the beliefs in the sequence. If this is an infinite sequence of justifications invoked to justify an observational report, it is reasonable to consider that we make use of infinite sequences of justifications all the time and that most cases of justification seem to invoke an infinite regress. Infinite sequences of justifications seem to be not only possible but abundant.

Infinite sequences of justfications like the one above bear resemblence to what is a commonplace about truth that, in its turn, is related to what Tarski called the material condition for adequacy in a theory of truth. It is generally accepted that
if x is red then
‘x is red’ is true then
‘ ‘x is red’ is true’ is true then
‘ ‘ ‘x is red’ is true’ is true’ is true then

Maintaining something (or that something is true) is often thought of as maintaining an infinite set of claims. The example of infinite sequence of justifications above can be visible from this commonplace about truth if we consider what we do when we establish that something is true. We can say that we do so by establishing the truth of an infinite sequence of claims:
S establishes that x is red by
establishing that ‘x is red’ is true and she does that by
establishing that ‘ ‘x is red’ is true’ is true and she does that by
establishing that ‘ ‘ ‘x is red’ is true’ is true’ is true and she does that by

My example of an infinite sequence of justification is readily presentable in a recursive manner. I believe this is a good candidate necessary condition for adequate infinite sequences. Klein (1999) considers the objection that there is an element of arbitrariness in infinitism as we can place any claim in an infinite chain of justifications. This can be countered by saying that not all infinite sequences of justifications are adequate justifiers of a claim: only some infinite sequences of justifications are adequate. The next step is to present necessary and sufficient conditions for a sequence to be adequate––which is, of course, an enormous and maybe impossible task that would possibly amount to solve all the epistemological questions at once. I cannot present those conditions but I conjecture that a good necessary condition for an infinite sequence to be adequate is that it is presentable in a recursive manner.

Recursively expressible infinite sequences of justifications can help us deal with the old objection to infinitism that takes infinite sequences to be infinite deferral of justification––justification is never presented, it is at best only promised. Presented in a recursive manner, the infinite sequence is all there and the justification is in front of is––infinte sequences of justification are understood as actual (Cantorian) infinute sequences. The justification is therefore provided by the sequence and nothing is left for an infinite deferral; if all the justification needed for the belief is in the infinite sequence, one needs no infinite time or infinite number of steps to attain it. Justification, then, is not provisional but rather complete. Recursive infinite sequences, however, can be more complex and can involve more interesting (or at least more surprising) justifications but they have the advantage of coming to view in a finite number of steps; namely the recursive clauses.

A Note on Internalism

It is reasonable to assume that we often infer using infinite sets of premises. Consider what is often said about the famous (Carrollian) infinite regress requirement for Modus Ponens:

Premise 1. If p then q
Premise 2. p
Premise 3. If 1 and 2 then q
Premise 4. If 1, 2 and 3 then q
Conclusion. q

We claim that a conclusion can be drawn from 1 and 2 only because we take the meaning of the words––the connectives––to be established somewhere else and not in the argument. The meaning of these words constitute what makes the rule of inference an effective constraint on what we think. This constraint is often thought as coming from an external source––external to the argument itself. This appeal to external sources for constraint is made unnecessary if we assume that Modus Ponens, for instance, involves an infinite set of premises.

The analogy I want to draw is that, in a similar way, an infinite sequence of justification provide all justification needed and could satisfy all the (epistemological) internalist cravings for reasons. There is nothing that is not available to the thinker in the process of justification––everything is there, open to her view and scrutinizable in the form of the recursive clauses. There is, therefore, no need to appeal to true reliable reporters, to truths about the world or to whatever could capture the (epistemological) externalist fancy. Infinitism can prove to be the ultimate resource for an internalist epistemology.

Black, O. (1996) Infinite Regress Arguments and Infinite Regresses, Acta Analytica 16/17, 95-124.
Black, O. (2003) Infinite Regresses, Infinite Beliefs, Proceedings of the 26th International Wittgenstein Symposium, 40-41.
Klein, P. (1999) Human Knowledge and the Infinite Regress of Reasons, Philosophical Perspectives, 13, 297-325.

Escepticismo y cadenas infinitas de justificación
Eduardo Alejandro Barrio
Universidad de Buenos Aires
Conicet – Gaf

En este trabajo intento mostrar algunos problemas con la tesis según la cual hay secuencias recursivas infinitas de justificación. Tal tesis ha sido defendida por Hilan Bensusan como una respuesta a la cuestión de encontrar plausibilidad a la tesis según la cual hay casos en los cuales podemos obtener justificación para una de nuestras creencias por medio de una cadena infinita de rezones. Por ejemplo, de acuerdo con el enfoque defendido por Hilan, es razonable decir que cuando determinamos que estamos justificados en creer que algo es rojo, también determinamos ciertas propiedades, recursivamente expresables, de un conjunto infinito de otras creencias. Señalare que la analogía que Hilan propone entre la caracterización tarskiana del predicado veritativo y la generación de una secuencia ascendente de aplicaciones de predicados y la caracterización de secuencias recursivas infinitas de justificación no nos ayuda a bloquear la desconfianza escéptica según la cual todo regreso nos deja sin justificación.

Los inferencialistas en epistemologia sostienen que la justificación de las creencias de un sujeto está siempre asociada a un proceso inferencial. En este sentido, una creencia estaría justificada sólo si otra creencia justificada fuera una razón para ella. Es decir, el inferencialista justificacional defiende la idea de que es una condición para que una creencia esté justificada, el que esta pueda ser inferida de otra creencia en las mismas condiciones.

Ahora bien, el defensor de esta perspectiva, parece tener a mano dos opciones: o bien aceptar que hay cadenas circulares de justificación o bien aceptar que hay cadenas infinitas. La aceptación de la primera alternativa, rechazando la segunda al mismo tiempo, produce algún tipo de coherentismo justificacional. La no aceptación de ninguna de las dos opciones o bien obliga a buscar algún tipo de justificación no inferencial de corte fundacionista o bien conduce a alguna forma de escepticismo.

Es bien conocido que tanto la tesis de que hay cadenas circulares de justificación como la de que hay cadenas infinitas ha recibido numerosas críticas. Usualmente, se dice que la primera opción comete algún tipo de petición de principio, mientras que la segunda algún tipo de regreso. Al adoptar una perspectiva según la cual, hay procesos circulares de justificación, quizás porque ese conjunto de creencias tenga algún tipo de propiedad especial (por ejemplo, coherencia global) estaríamos evitando comprometernos con una secuencia infinita de pasos justificacionales. Pero, simultaneamente estaríamos cayendo en algún tipo de presuposición inapropiada: lo que queremos justificar, estaría presuponíendose como justificado desde el inicio del proceso. Al adoptar una perspectiva infininitista, en cambio, estaríamos evitando ese problema. Al mismo tiempo, a favor de ese enfoque y a diferencia del fundacionismo, no tendríamos necesidad de comprometernos con hay razones últimas. Toda razón para una creencia necesita de otra razón. Sin embargo, el infinitista ha recibido numerosas críticas. Entre ellas, se destaca la dificultad de explicar cómo un sujeto epistémico con capacidades finitas podría expresar una secuencia justificatoria infinita. Esto es, un punto importante que este enfoque debe resolver es el de ofrecer una explicación de cómo con recursos limitados hay disponible al sujeto una cadena infinita que le permite disponer de algún tipo de justificación.


En “Recursive Infinite Sequences of Justifications”, Hilan Bensusan se ha tomado en serio el infinitismo acerca de la justificación. Según Hilan, es posible que la estructura de una cadena de razones sea infinita y sin repeticiones. Según su perspectiva, el infinitismo puede brindar una aceptable explicación de las creencias justificadas, a condición de que tomemos algunos recaudos sobre la estructura de ese tipo de cadenas. Claro que Hilan no está solo en esta empresa: lo acompañan Peter Klein y Oliver Black y por supuesto, el número de críticos de esta posición es bastante elevado. Sólo para mencionar a algunos, el trabajo de John Williams y Robert Audi.

Si el fundacionismo es inaceptable porque nos pide que aceptemos una razón arbitraria como base de nuestras creencias justificadas y el coherentismo tambíen lo es porque al dar una razón para una creencia esperamos que esa creencia no participe en el proceso por el cual brindamos una justificación a esa razón, el infinitismo se convierte en un rival a vencer por parte del escepticismo. Quizás por eso, en esta dirección, Sexto Empírico sostiene:

El modo de razonar basado en un regreso al infinito es ese a través del cual afirmamos que lo aducido como prueba de un asunto propuesto necesita siempre de una prueba adicional, y esto, una y otra vez, hasta el infinito. Por eso, la consecuencia de este proceso es la suspención ya que no poseemos un punto de partida para nuestro argumento. (Sexto Empírico Outlines of Pyrrhonism, PH 1, 166).

Claro está que, como ya hemos dicho, y más allá de la crítica de Sexto Empírico, uno de los aspectos que el infinitismo tiene que atender es el de la existencia de algún tipo de vínculo epistémico entre el sujeto y la razón de su creencia de manera tal de que esta última esté en algún sentido disponible al mismo. Es la disponibilidad al S poseedor de la creencia de la cadena infinita de justificación lo que haría plausible esta explicación. A grandes rasgos, podríamos decir que el que una razón esté disponible a S quiere decir que un sujeto racional suficientemente informado aceptaría r como una razón para la creencia. Es bien conocido que en este punto, la posición defendida por Hilan, tal como el mismo concede, ha sido criticada: si la mente humana es finita, no puede ser el caso que una creencia esté justificada sólo si hay una cadena infinita de razones. En esta dirección, Williams, por ejemplo, sostiene:

El regreso propuesto de la justificación de las creencias de S requeriría que S tenga un vínculo epistémico con un número infinito de creencias. Esto es psicológicamente, si no lógicamente, imposible. Si un ser humano puede creer un número infinito de cosas, no hay ninguna razón como para que no pueda saber un número infinito de ellas. Pero ambas posibilidades contradicen el sentido común de que la mente humana es finita. Sólo Dios podría contemplar un número infinito de creencias. Pero, seguramente Dios no es el único que tiene creencias justificadas.

Hilan podría replicar que si bien es imposible que seres con mentes finitas puedan concientemente creer un número infinito de proposiciones, un tratamiento un poco más sofisticado del problema, recurriría a un concepto disposicional de creencia. Si el infinitismo requiere que haya un conjunto infinito de proposiciones que esté disponible al S, entonces S debe tener al disposición a formar una creencia para cada uno de los miembros de ese conjunto. No se requeriría que de hecho tenga formada todas y cada una de esas creencias.

No obstante, y aún recurriendo al concepto de disposición, la disponibilidad puede ponerse en dudas. En primer lugar, a menos que las razones no sean expresables lingüisticamente, no habría vocabulario suficiente como para expresar cada una de las razones dentro de la cadena infinita. Y aún cuando sólo se requiera que el S tenga la disposición a aceptar rn como una razón potencial, si no tuviéramos vocabulario suficiente como para expresar esa razón, parece poner en duda la posibilidad de que la misma sea accesible a S. Sólo si aceptáramos razones inexpresables potencialmente disponibles al S, tal explicación tendría plausibillidad. En segundo lugar, y tal como el propio Hilan acepta, el hecho de que sea posible construir una cadena infinita no es suficiente para que esa cadena sea de hecho una cadena justificatoria del último eslabón de la cadena. En esta dirección, hay una reductio, que ha sido ofrecida por Post que muestra que para cualquier creencia contingente, es posible construir una cadena infinita. Para ver el punto, sea p el contenido de creencia contingente y usemos el Modus Ponens de la siguiente manera:

…, r & (r → (q & (q→ p), p))), q & (q→ p), p

Pero, entonces, toda creencia contingente estaría justificada, lo cual haría que el infinitismo sea inaceptable. Claro que la mera existencia de una cadena infinita de justificación no tiene por que ser una condición suficiente. No toda cadena que tenga una propiedad estructural hace a una creencia empírica justificada.


Hilan propone que la estructura se las secuencias infinitas de justificación sea expresable de manera recursiva y presenta una analogía con el modo en el que Tarski presenta el núcleo del funcionamiento del predicado veritativo. De esta manera, secuencias infinitas recuersivamente expresables de justificación estarían disponibles a los sujetos en un sentido análogo al que les está disponible una secuencia infinita de ascensos semánticos. En sus propias palabras “lo que es un lugar común acerca de la verdad y está vinculado con lo que Tarski llama condición de adecuación en la teoría de la verdad. “ Claro está que en el caso del predicado veritativo, la secuencia estaría integrada por eslabones del tipo
Si x es rojo entonces ‘x es rojo’ es verdadera, entonces ‘ ‘x es rojo’ es verdadera’ es verdadera, entonces ‘ ‘ ‘x es rojo’ es verdadera’ es verdadera’ es verdadera, entonces…

Todos estructurados de un eslabón a otro, ascendiendo semánticamente. Sostener que algo es verdadero es pensado como sostener una secuencia infinita de este tipo. Y de acuerdo a Hilan, no se necesitaría ningún tiempo infinito ni ningún vocabulario especial para recorrer o expresar toda la secuencia. “La justificación no sería providencial sino completa”.
En el caso de la justificación, la secuencia estaría integrada por eslabones del siguiente tipo:
Si una persona S tiene una justificación para x, entonces hay alguna razón r1, disponible en principio a S, para aceptar x; y hay alguna razón r2 disponible a S para aceptar r1. y hay alguna razón r3 disponible a S para aceptar r2. etc.
Pero, nótese que para que la analogía funcione, tal como sucede con el caso del predicado veritativo, haría falta suponer que las propiedades epistémicas involucradas en este último caso son aritmetizables. Sólo así tendríamos la seguridad necesaria para que la secuencia generara sea recursiva Aún así, adviértase que ninguna prueba, ninguna secuencia o cadena epistémica, es de hecho infinita. Lo que garantiza que exista un procedimiento recursivo es que para cualquier elemento de un conjunto infinito se pueda determinar si ese elemento cumple una determinada condición. Esto es, por ejemplo, si tal como se muestra a través de la numeración de Gödel, la demostrabilidad dentro de la aritmética es aritmetizable, esto quiere decir que para cualquiera de las infinitas formulas de la aritmética existe un procedimiento aritmético que permite determinar si se trata de una fórmula demostrable. Esto, sin embargo, no quiere decir que la estructura recursiva garantiza la existencia de pruebas de longitud infinita. Por el contrario, los límites de la axiomatización están dados por la suposición de que la longitud de las pruebas de una fórmula demostrable es siempre finito, aún cuando exista un procedimiento recursivo para determinar para cualquiera de los infinitos casos de aplicación del predicado “x es demostrable”, si se trata o no de una fórmula que cumple esa condición.
Más aún, el teorema de Tarski muestra una limitación para expresar el predicado veritativo dentro de un mismo lenguaje: ninguna teoría suficientemente fuerte como para expresar la aritmética, esto es, ninguna teoría cuyas fórmulas tengan propiedades recursivamente expresables, puede contener su propio predicado veritativo. En este sentido, el resultado de Tarski implica una limitación sobre el alcance de la idea de autorepresentación. No todas las propiedades de una lenguaje se pueden aritmetizar, esto es, se pueden expresar recursivamente. En particular, no hay manera de representar recursivamente dentro del lenguaje natural, el predicado veritativo de ese lenguaje. Casos como los del mentiroso o sus afines muestran que hay restricciones en las cadenas semánticas generadas a través de los ascensos correspondientes a través de la condición de adecuación de Tarski. Interesante es el caso del ascenso generado por la oración
Esta oración es verdadera. Entonces “Esta oración es verdadera” es verdadera. Entonces, ““Esta oración es verdadera” es verdadera” es verdadera. Entonces, etc…
Si la primera es verdadera, cada uno de los eslabones es verdadero. Pero si es falsa, cada uno de los eslabones será falso. Esto es, cada uno de los eslabones de la cadena podría ser parte de la extensión del predicado veritativo del lenguaje, si su predecesor ha formado parte de la extensión. Claro, esto genera una secuencia infinita de aplicaciones del predicado veritativo. Pero, esta secuencia cuya estructura queda enumerada recursivamente, nada explica respecto de las condiciones veritativas de la oración inicial. Por eso, aun en el caso de que llegaramos a aceptar con Hilan la generación de secuencias epistémicas con similares características, ¿por qué ellas brindarían al sujeto algún tipo de garantía epistémica sobre su creencia?
La propuesta de Hilan según la cual existen secuencias recursivas infinitas de justificaciones parece tener problemas. No es claro que las propiedades epistémicas sean aritmetizables. Y esta es una condición para que las condiciones de ese tipo puedan estructurarse recursivamente. Aún cuando se pudiera garantizar tal cosa, lo que la recursividad posibilita es la aplicación de una característica a infinitos objetos (en este caso, creencias), pero no que la longitud de la secuencia de justificaciones sea infinita. Una prueba de longitud infinita no es parte de lo que es recursivo. Por otra parte, la analogía con la caracterización tarskiana de verdad no ayuda demasiado. El teorema de Tarski muestra que los conceptos semánticos no son completamente aritmétizables. Esto es, no son completamente caracterizables por técnicas recursivas. Particularmente, en un lenguaje que permita la autoreferencia, donde es posible expresar autoaplicaciones de conceptos semánticos, la aplicación de la condición de adecuación tarskiana conduce a contradición. Por último, aunque se generara una secuencia de longitud infinita, sin generar contradición, tal como sucede con la afirmación “Esta oración es verdadera”, no queda claro en qué sentido esa cadena ofrecería al sujeto algún tipo de garantía epistémica sobre lo que se cree.


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